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Teoria degli insiemi

Indice Teoria degli insiemi

La teoria degli insiemi è una teoria matematica posta ai fondamenti della matematica stessa, collocandosi nell'ambito della logica matematica.

66 relazioni: Adolf Abraham Halevi Fraenkel, Albert Thoralf Skolem, Algebra di Boole, Analisi non standard, Appartenenza, Assioma, Assioma della scelta, Cardinalità, Cardinalità del continuo, Controllabilità, Differenza simmetrica, Disgiunzione, Elemento (insiemistica), Ernst Zermelo, Filtro (matematica), Fondamenti della matematica, Georg Cantor, Giuseppe Peano, Gottlob Frege, Inclusione, Insieme, Insieme complemento, Insieme delle parti, Insieme finito, Insieme numerabile, Insieme ricorsivamente enumerabile, Insieme ricorsivo, Insieme sfocato, Insieme vuoto, Intersezione (insiemistica), John von Neumann, Kurt Gödel, Logica matematica, Luogo (geometria), Macchina di Turing, Matematica, Nicolas Bourbaki, Numero algebrico, Numero complesso, Numero intero, Numero irrazionale, Numero naturale, Numero razionale, Numero reale, Numero transfinito, Numero trascendente, Paul Bernays, Paul Halmos, Prodotto cartesiano, Relazione (matematica), ..., Somma disgiunta, Teoremi di incompletezza di Gödel, Teoria, Teoria assiomatica degli insiemi, Teoria degli insiemi di Von Neumann-Bernays-Gödel, Teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel, Teoria dei tipi, Teoria della calcolabilità, Teoria delle categorie, Teoria ingenua degli insiemi, Teorie formali degli insiemi, Ultrafiltro, Unione (insiemistica), XIX secolo, 1890, 1930. Espandi índice (16 più) »

Adolf Abraham Halevi Fraenkel

Fraenkel ha studiato alle Università di Monaco, di Berlino, di Marburgo e di Breslavia.

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Albert Thoralf Skolem

Nel 1905 entra nell'Università di Kristiania, il nome di allora di Oslo, per studiare matematica, ma studia anche fisica, chimica, botanica e zoologia.

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Algebra di Boole

L'algebra di Boole (anche detta algebra booleana o reticolo booleano), in matematica e logica matematica, è il ramo dell'algebra in cui le variabili possono assumere solamente i valori vero e falso (valori di verità), generalmente denotati rispettivamente come 1 e 0.

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Analisi non standard

L'analisi non standard è una rifondazione dell'analisi matematica che recupera in parte l'impostazione (originale) di Leibniz e il concetto di infinitesimo.

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Appartenenza

In matematica, in particolare in teoria degli insiemi, l'appartenenza (simbolo \in) di un elemento a ad un insieme X è la relazione (binaria) che stabilisce se a è compreso, in senso intuitivo, tra gli elementi di X. Se l'elemento a appartiene all'insieme X si scrive a \in X, in caso contrario a \notin X. Il simbolo di appartenenza venne introdotto dal matematico Giuseppe Peano nel 1889, durante i suoi studi sull'assiomatizzazione della matematica.

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Assioma

In epistemologia, un assioma è una proposizione o un principio che è assunto come vero perché ritenuto evidente o perché fornisce il punto di partenza di un quadro teorico di riferimento.

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Assioma della scelta

L'assioma della scelta è un assioma di teoria degli insiemi enunciato per la prima volta da Ernst Zermelo nel 1904.

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Cardinalità

In teoria degli insiemi per cardinalità (o numerosità o potenza) di un insieme finito si intende il numero dei suoi elementi.

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Cardinalità del continuo

In matematica la cardinalità del continuo è il numero cardinale dell'insieme dei numeri reali \mathbb (che, a volte, viene chiamato il continuo).

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Controllabilità

Nell'analisi dei sistemi dinamici, la controllabilità di un sistema dinamico è la sua capacità di raggiungere qualsiasi punto dello spazio delle configurazioni mediante un qualche insieme di manipolazioni.

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Differenza simmetrica

In matematica, la differenza simmetrica tra due insiemi è l'insieme che contiene gli elementi presenti solo in uno dei due insiemi.

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Disgiunzione

Nella teoria degli insiemi la disgiunzione è la relazione che sussiste fra due insiemi che non hanno alcun elemento in comune.

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Elemento (insiemistica)

In matematica un elemento è un oggetto contenuto in un insieme (o più in generale in una classe).

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Ernst Zermelo

Si diplomò al Luisenstädtisches Gymnasium di Berlino nel 1889.

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Filtro (matematica)

In teoria degli insiemi il concetto di filtro venne introdotto nel 1937 da Henri Cartan come metodo per introdurre una nozione di convergenza generalizzata per gli spazi topologici.

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Fondamenti della matematica

Nei ''Principia Mathematica'', Bertrand Russell e Alfred North Whitehead propongono di fondare la matematica su basi logiche Per fondamenti della matematica si intende lo studio delle basi logiche e filosofiche della matematica.

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Georg Cantor

Cantor ha allargato la teoria degli insiemi fino a comprendere al suo interno i concetti di numeri transfiniti, numeri cardinali e ordinali.

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Giuseppe Peano

Fu l'inventore del latino sine flexione, una lingua ausiliaria internazionale derivata dalla semplificazione del latino classico.

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Gottlob Frege

Frege è considerato quasi unanimemente dalla critica odierna uno dei più grandi logici dopo Aristotele, ed è il padre del pensiero formale del Novecento.

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Inclusione

In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, l'inclusione, indicata con \subseteq, è una relazione binaria tra insiemi definita nel seguente modo: "l'insieme B è contenuto o incluso nell'insieme A se e solo se, per ogni elemento x, se x appartiene a B allora x appartiene ad A".

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Insieme

In matematica, un raggruppamento di oggetti rappresenta un insieme se esiste un criterio oggettivo che permette di decidere univocamente se un qualunque oggetto fa parte o no del raggruppamento.

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Insieme complemento

Nella teoria degli insiemi e in altri campi della matematica, esistono due tipi di insieme complemento: il complemento relativo (detto anche insieme differenza) e il complemento assoluto.

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Insieme delle parti

In matematica, dato un insieme S, l'insieme delle parti di S, scritto \mathcal(S), è l'insieme di tutti i sottoinsiemi di S. Questa collezione di insiemi viene anche detta insieme potenza di S o booleano di S. \mathcal(S) viene chiamato famiglia di insiemi rispetto a S. --> Per esempio, se S è l'insieme \, allora la lista completa dei suoi sottoinsiemi risulta.

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Insieme finito

In matematica, un insieme A è detto finito se esiste una biiezione (ovverosia una funzione sia iniettiva che suriettiva) tra un insieme della forma \left\ ed A, dove n è un numero naturale.

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Insieme numerabile

In matematica, e più in particolare nella teoria degli insiemi, un insieme viene detto numerabile se i suoi elementi sono in numero finito oppure se possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali.

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Insieme ricorsivamente enumerabile

Nella teoria della calcolabilità esistono due definizioni di insieme ricorsivamente enumerabile (spesso abbreviato in insieme r.e.) o insieme semi-decidibile.

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Insieme ricorsivo

Nella teoria della calcolabilità un insieme ricorsivo è intuitivamente un insieme di numeri naturali, per cui è possibile costruire un algoritmo che in un tempo finito (ma a priori non predeterminato) sia in grado, dato un qualunque numero naturale, di stabilire se esso appartiene o no all'insieme.

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Insieme sfocato

Un insieme sfocato o insieme sfumato (in inglese fuzzy set) è un insieme che rientra in un'estensione della teoria classica degli insiemi.

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Insieme vuoto

Nella teoria degli insiemi si indica con insieme vuoto quel particolare insieme che non contiene alcun elemento.

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Intersezione (insiemistica)

In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, l'intersezione (simbolo \cap) di due insiemi A e B è l'insieme degli elementi che appartengono sia all'insieme A che all'insieme B contemporaneamente.

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John von Neumann

Generalmente considerato come uno dei più grandi matematici della storia moderna oltre ad essere una delle personalità scientifiche preminenti del XX secolo, a lui si devono contributi fondamentali in numerosi campi come la teoria degli insiemi, analisi funzionale, topologia, fisica quantistica, economia, informatica, teoria dei giochi, fluidodinamica e in molti altri settori della matematica.

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Kurt Gödel

Ritenuto uno dei più grandi logici di tutti i tempi insieme ad Aristotele e Gottlob Frege, le sue ricerche ebbero un significativo impatto, oltre che sul pensiero matematico e informatico, anche sul pensiero filosofico del XX secolo.

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Logica matematica

La logica matematica è il settore della matematica che studia i sistemi formali dal punto di vista del modo di codificare i concetti intuitivi della dimostrazione e di computazione come parte dei fondamenti della matematica.

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Luogo (geometria)

In matematica, ed in particolare in geometria e in geometria analitica, un luogo geometrico, o più semplicemente un luogo, è l'insieme di tutti e soli i punti di uno spazio che godono di una determinata proprietà.

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Macchina di Turing

In informatica una macchina di Turing (o più brevemente MdT) è una macchina ideale che manipola i dati contenuti su un nastro di lunghezza potenzialmente infinita, secondo un insieme prefissato di regole ben definite.

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Matematica

La matematica (dal greco μάθημα (máthema), traducibile con i termini "scienza", "conoscenza" o "apprendimento"; μαθηματικός (mathematikós) significa "incline ad apprendere") è la disciplina che studia le quantità (i numeri), lo spazio,.

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Nicolas Bourbaki

Nicolas Bourbaki è l'eteronimo con il quale, a partire dal 1935 e sostanzialmente fino al 1983, un gruppo di matematici di alto profilo, in maggioranza francesi, scrisse una serie di libri per l'esposizione sistematica di nozioni della matematica moderna avanzata.

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Numero algebrico

In matematica, un numero algebrico è un numero reale o complesso che è soluzione di un'equazione polinomiale della forma: dove n>0, ogni a_i è un intero, e a_n è diverso da 0.

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Numero complesso

Un numero complesso è un numero formato da una parte reale e da una parte immaginaria.

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Numero intero

I numeri interi (o numeri interi relativi o, semplicemente, numeri relativi) sono formati dall'unione dei numeri naturali (0, 1, 2,...) e dei numeri interi negativi (−1, −2, −3,...), costruiti ponendo un segno “−” davanti ai naturali.

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Numero irrazionale

In matematica, un numero irrazionale è un numero reale che non è un numero razionale, cioè non può essere scritto come una frazione a / b con a e b interi e b diverso da 0.

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Numero naturale

In matematica i numeri naturali sono quei numeri usati per contare e ordinare.

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Numero razionale

In matematica, un numero razionale è un numero ottenibile come rapporto tra due numeri interi, il secondo dei quali diverso da 0.

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Numero reale

In matematica, i numeri reali possono essere descritti in maniera non formale come numeri ai quali è possibile attribuire uno sviluppo decimale finito o infinito, come \pi.

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Numero transfinito

In matematica la nozione di numero transfinito estende la nozione di numero, le operazioni aritmetiche e la relazione d'ordine proprie dei numeri naturali a una classe più ampia di oggetti che in qualche senso sono "più grandi" degli usuali numeri "finiti".

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Numero trascendente

In matematica un numero trascendente è un numero irrazionale che non è un numero algebrico, ossia non è la soluzione di nessuna equazione polinomiale della forma: dove n\ge 1 e i coefficienti a_i sono razionali non tutti nulli.

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Paul Bernays

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Paul Halmos

Nasce a Budapest da una famiglia di origini ebraiche che nel 1929 emigra negli Stati Uniti.

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Prodotto cartesiano

In matematica il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è l'insieme delle coppie ordinate (a,b) con a in A e b in B. Formalmente: Se A e B sono insiemi distinti, i prodotti A\times B e B\times A sono formalmente distinti, anche se sono in naturale corrispondenza biunivoca.

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Relazione (matematica)

In matematica una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano di due o più insiemi.

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Somma disgiunta

La somma disgiunta (o unione disgiunta) di due insiemi corrisponde all'unione insiemistica, realizzata in modo da considerare distinti elementi appartenenti ad insiemi distinti.

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Teoremi di incompletezza di Gödel

In logica matematica, i teoremi di incompletezza di Gödel sono due famosi teoremi dimostrati da Kurt Gödel nel 1931.

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Teoria

Il termine teoria (dal greco θεωρέω theoréo "guardo, osservo", composto da θέα thèa Il termine è connesso con θέα théa, "spettacolo", a sua volta derivato da θαῦμα thâuma, "visione". Il termine mantiene però esclusivamente il significato di "guardare"., "spettacolo" e ὁράω horào, "vedo") indica, nel linguaggio comune, un'idea nata in base ad una qualche ipotesi, congettura, speculazione o supposizione, anche astratte rispetto alla realtà.

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Teoria assiomatica degli insiemi

La teoria degli insiemi è una branca della matematica sviluppata principalmente dal matematico tedesco Georg Cantor alla fine del XIX secolo.

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Teoria degli insiemi di Von Neumann-Bernays-Gödel

Nello studio dei fondamenti della matematica, la teoria degli insiemi di Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) è una teoria assiomatica degli insiemi che costituisce un'estensione conservativa della canonica teoria assiomatica degli insiemi di Zermelo-Fraenkel con l'assioma della scelta (ZFC).

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Teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel

In matematica, e in particolare in logica matematica, la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel comprende gli assiomi standard della teoria assiomatica degli insiemi su cui, insieme con l'assioma di scelta, si basa tutta la matematica ordinaria secondo formulazioni moderne.

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Teoria dei tipi

Dal punto di vista più generale, la teoria dei tipi è la branca della matematica e della logica che si occupa di classificare generiche entità, raggruppandole in collezioni chiamate tipi.

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Teoria della calcolabilità

La teoria della calcolabilità, della computabilità, e della ricorsione cerca di comprendere quali funzioni possono essere calcolate tramite un procedimento automatico.

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Teoria delle categorie

La teoria delle categorie è una teoria matematica che studia in modo astratto le strutture matematiche e le relazioni tra esse.

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Teoria ingenua degli insiemi

La teoria ingenua degli insiemi si distingue dalla teoria assiomatica degli insiemi per il fatto che la prima considera gli insiemi come collezioni di oggetti, chiamati elementi o membri dell'insieme, mentre la seconda considera insiemi quelli che soddisfano determinati assiomi.

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Teorie formali degli insiemi

Le teorie formali degli insiemi sono teorie del primo ordine con lo scopo di rappresentare le relazioni insiemistiche e fornire una base per il ragionamento matematico in generale.

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Ultrafiltro

In teoria degli insiemi un ultrafiltro \mathcal A è un filtro proprio sull'insieme A tale che ogni sottoinsieme di A o il suo complemento appartiene ad \mathcal A, in formule Sia il concetto di filtro che di ultrafiltro furono introdotti da Henri Cartan nel 1937.

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Unione (insiemistica)

In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, esiste un'operazione detta unione (simbolo \cup) di insiemi.

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XIX secolo

È il primo secolo dell'età contemporanea, un secolo di grandi trasformazioni sociali, politiche, culturali ed economiche a partire dalla caduta di Napoleone Bonaparte e la successiva Restaurazione, i moti rivoluzionari, la costituzione di molti stati moderni tra cui il Regno d'Italia, la guerra di secessione americana, la seconda rivoluzione industriale fra positivismo, evoluzionismo e decadentismo, l'imperialismo e sul finire la grande depressione e la Belle Époque.

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1890

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1930

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