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Glossario di teoria dei gruppi

Indice Glossario di teoria dei gruppi

Un gruppo è un insieme munito di un'operazione associativa dotata di elemento neutro e tale che ogni elemento possiede un inverso. Gruppi molto importanti sono costituiti da trasformazioni; altri gruppi che si incontrano spesso sono costituiti da insiemi numerici muniti della moltiplicazione.

Indice

  1. 40 relazioni: Campo (matematica), Cardinalità, Centro di un gruppo, Commutatività, Composizione di funzioni, Corrispondenza biunivoca, Elemento neutro, Funzione (matematica), Gruppo (matematica), Gruppo abeliano, Gruppo ciclico, Gruppo generale lineare, Inclusione (matematica), Insieme, Insieme di generatori, Insieme finito, Isometria, Isomorfismo tra gruppi, Lato (geometria), Matrice invertibile, Numero complesso, Numero primo, Numero reale, Omomorfismo di gruppi, Operazione binaria, Piano (geometria), Poligono regolare, Prodotto cartesiano, Prodotto diretto, Relazione binaria, Relazione di equivalenza, Relazione riflessiva, Relazione simmetrica, Relazione transitiva, Spazio topologico, Spazio vettoriale, Struttura algebrica, Tabella a doppia entrata, Uguaglianza (matematica), William Burnside.

  2. Liste di matematica
  3. Teoria dei gruppi

Campo (matematica)

In matematica, un campo è una struttura algebrica composta da un insieme non vuoto e da due operazioni binarie interne (chiamate somma e prodotto e indicate di solito rispettivamente con + e *) che godono di proprietà assimilabili a quelle verificate da somma e prodotto sui numeri razionali o reali o anche complessi.

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Cardinalità

In teoria degli insiemi per cardinalità (o numerosità o potenza) di un insieme finito si intende il numero dei suoi elementi. La cardinalità di un insieme A è indicata con i simboli leftvert A rightvert, #(A) oppure operatorname(A).

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Centro di un gruppo

In matematica, dato un gruppo G, il centro C di G è il sottoinsieme di G costituito dagli elementi di G che commutano con tutti gli elementi di G (compresi quelli non appartenenti a C), in formule: Se G è un gruppo abeliano, chiaramente, C.

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Commutatività

In matematica, un'operazione binaria * definita su un insieme S è commutativa se e solo se Se questa proprietà non è valida per ogni coppia di elementi, l'operazione * è quindi detta non commutativa.

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Composizione di funzioni

In matematica, la composizione di funzioni è l'applicazione di una funzione al risultato di un'altra funzione. Più precisamente, una funzione f tra due insiemi X e Y associa ogni elemento di X a uno di Y: in presenza di un'altra funzione g che associa ogni elemento di Y a un elemento di un altro insieme Z, si definisce la composizione di f e g come la funzione che associa ogni elemento di X a uno di Z usando prima f e poi g.

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Corrispondenza biunivoca

In matematica una corrispondenza biunivoca tra due insiemi X e Y è una relazione binaria tra X e Y, tale che ad ogni elemento di X corrisponda uno ed un solo elemento di Y, e viceversa ad ogni elemento di Y corrisponda uno ed un solo elemento di X. In particolare, la corrispondenza biunivoca è una relazione di equivalenza.

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Elemento neutro

In matematica, e in particolare algebra astratta, lelemento neutro è un elemento di un loop o di un monoide (e quindi anche di un gruppo o sue sovrastrutture come anelli e via via più specifiche) che "non modifica nulla" se posto sia a sinistra che a destra in un'operazione.

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Funzione (matematica)

In matematica, una funzione è una relazione tra due insiemi, chiamati dominio e codominio della funzione, che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.

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Gruppo (matematica)

In matematica un gruppo è una struttura algebrica formata dall'abbinamento di un insieme non vuoto con un'operazione binaria interna (come ad esempio la addizione o la moltiplicazione), che soddisfa gli assiomi di associatività, di esistenza dell'elemento neutro e di esistenza dell'inverso di ogni elemento.

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Gruppo abeliano

In matematica e in particolare in algebra astratta, un gruppo abeliano, o gruppo commutativo, è un gruppo la cui operazione binaria interna gode della proprietà commutativa, ossia il gruppo (G,*) è abeliano se Il nome deriva dal matematico norvegese Niels Henrik Abel.

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Gruppo ciclico

In matematica, più precisamente nella teoria dei gruppi, un gruppo ciclico è un gruppo che può essere generato da un unico elemento. Un tale gruppo è isomorfo al gruppo mathbb/nmathbb delle classi di resto modulo n, oppure al gruppo mathbb dei numeri interi.

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Gruppo generale lineare

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, il gruppo lineare generale è il gruppo di tutte le matrici invertibili n × n a valori in un campo K, dove n è un numero intero positivo.

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Inclusione (matematica)

In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, l'inclusione, indicata con subseteq, è una relazione binaria tra insiemi definita nel seguente modo: "l'insieme B è contenuto o incluso nell'insieme A se, per ogni elemento x, se x appartiene a B allora x appartiene ad A".

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Insieme

In matematica, una collezione di elementi rappresenta un insieme se esiste un criterio oggettivo che permette di decidere univocamente se un qualunque elemento fa parte o no del raggruppamento.

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Insieme di generatori

In algebra lineare, un insieme di generatori (o sistema di generatori) è un sottoinsieme di un insieme dotato di struttura algebrica tale che tutti gli elementi dell'insieme possono essere ottenuti dagli elementi del sottoinsieme, tramite combinazioni di operazioni definite sull'insieme.

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Insieme finito

In matematica, un insieme X è detto finito se esiste una corrispondenza biunivoca (ossia una biiezione) tra un numero naturale n visto come insieme e X. I numeri naturali sono 0.

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Isometria

In matematica, una isometria (dal greco ἴσος, isos, che significa uguale) è una nozione che generalizza quella di movimento rigido di un oggetto o di una figura geometrica.

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Isomorfismo tra gruppi

Un isomorfismo tra gruppi, come ogni altro isomorfismo tra strutture algebriche monosostegno, è una corrispondenza biunivoca tra gli insiemi sostegno di due gruppi che conserva le uguaglianze riguardanti le operazioni caratterizzanti i due gruppi.

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Lato (geometria)

Il lato, nella geometria piana, è ognuno dei segmenti che delimitano un poligono. Essendo il poligono definito da una spezzata chiusa, i segmenti che compongono la spezzata chiusa sono detti lati del poligono.

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Matrice invertibile

In matematica, in particolare in algebra lineare, una matrice quadrata è detta invertibile, o regolare, o non singolare se esiste un'altra matrice tale che il prodotto matriciale tra le due restituisce la matrice identità.

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Numero complesso

Un numero complesso è definito come un numero della forma x+iy, con x e y numeri reali e i una soluzione dell'equazione x^2.

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Numero primo

In matematica, un numero primo (in breve anche primo) è un numero intero positivo che abbia esattamente due divisori distinti. In modo equivalente si può definire come un numero naturale maggiore di 1 che sia divisibile solamente per 1 e per sé stesso; al contrario, un numero maggiore di 1 che abbia più di due divisori è detto composto.

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Numero reale

In matematica, i numeri reali possono essere descritti in maniera non formale come numeri ai quali è possibile attribuire uno sviluppo decimale finito o infinito, come pi.

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Omomorfismo di gruppi

In matematica, e più precisamente in algebra, un omomorfismo di gruppi è un tipo di funzione fra gruppi che ne preserva le operazioni. Questo concetto identifica quindi quali sono le funzioni "interessanti" nella teoria dei gruppi.

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Operazione binaria

In matematica, unoperazione binaria interna è una funzione che richiede due argomenti dello stesso insieme X (si dice cioè che ha arietà 2) e restituisce un elemento di X. Formalmente, cioè, è una funzione * dal prodotto cartesiano Xtimes X in X: Per indicare l'immagine di una coppia di punti (x,y) si usa spesso la notazione infissa x*y.

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Piano (geometria)

Il piano è un concetto primitivo della geometria, ossia un concetto per il quale non esiste una definizione formale e che si suppone intuitivamente comprensibile e/o esperienzialmente acquisito, pertanto un'idea universalmente accettata e unica rappresentabile con oggetti concreti che fungono da esempio ma che per la loro sussistenza stessa non risolvono pienamente il concetto (gli altri concetti primitivi della geometria sono il punto e la retta).

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Poligono regolare

Un poligono regolare è un poligono convesso che è contemporaneamente equilatero (cioè ha tutti i lati congruenti fra loro) e equiangolo (cioè ha tutti gli angoli congruenti fra loro).

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Prodotto cartesiano

In matematica il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è l'insieme delle coppie ordinate (a,b) con a in A e b in B. Formalmente: Se A e B sono insiemi distinti, i prodotti Atimes B e Btimes A sono formalmente distinti, anche se sono in naturale corrispondenza biunivoca.

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Prodotto diretto

In algebra, il prodotto diretto esterno di due gruppi è un altro gruppo, costruito prendendo il prodotto cartesiano di questi e definendo l'operazione termine a termine.

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Relazione binaria

In matematica, una relazione binaria definita di un insieme, anche detta relazione o corrispondenza tra due oggetti, è un elenco di coppie ordinate di elementi appartenenti all'insieme.

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Relazione di equivalenza

Una relazione di equivalenza è un concetto matematico che esprime in termini formali quello intuitivo di "oggetti che condividono una certa proprietà".

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Relazione riflessiva

In logica e in matematica, una relazione binaria R in un insieme X è detta riflessiva se ogni elemento di X è in tale relazione con sé stesso.

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Relazione simmetrica

In matematica, una relazione binaria R in un insieme X è simmetrica se e solo se, presi due elementi qualsiasi a e b, vale che se a è in relazione con b allora anche b è in relazione con a. In simboli: Ad esempio, "è sposato/a con" è una relazione simmetrica, mentre "è figlio di" non lo è.

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Relazione transitiva

In matematica una relazione binaria R in un insieme X è transitiva se e solo se per ogni a, b, c appartenenti a X, se a è in relazione con b e b è in relazione con c, allora a è in relazione con c. In simboli: Per esempio, "è maggiore di" e "è uguale a" sono relazioni transitive: se a.

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Spazio topologico

In matematica, lo spazio topologico è l'oggetto base della topologia. Si tratta di un concetto molto generale di spazio, accompagnato da una nozione di "vicinanza" definita nel modo più debole possibile.

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Spazio vettoriale

In matematica, uno spazio vettoriale, anche detto spazio lineare, è una struttura algebrica composta da.

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Struttura algebrica

In matematica, una struttura algebrica è un insieme, chiamato insieme sostegno (della struttura), munito di una o più operazioni, ciascuna con la propria arietà (nullaria, unaria, binaria, ecc.) e caratterizzata dal poter avere proprietà quali commutatività, associatività e distributività.

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Tabella a doppia entrata

In matematica e statistica, una tabella a doppia entrata è una tabella a due variabili che permette il confronto fra due entità, una posta in ascissa e l'altra in ordinata secondo un sistema di riferimento cartesiano, e fra ciascuno degli elementi e/o delle parti che le costituiscono.

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Uguaglianza (matematica)

In matematica l'uguaglianza indica comunemente una relazione binaria di equivalenza fra due enti, detti membri dell'uguaglianza. Rappresenta uno dei concetti più importanti e fondamentali introdotti a livello della logica di una teoria.

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William Burnside

Studiò all'Università di Cambridge, dove fu Second Wrangler nel 1875; tra i suoi professori vi furono James Clerk Maxwell e Arthur Cayley.

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Vedi anche

Liste di matematica

Teoria dei gruppi