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Gruppo (matematica)

Indice Gruppo (matematica)

In matematica un gruppo è una struttura algebrica formata dall'abbinamento di un insieme non vuoto con un'operazione binaria interna (come ad esempio la addizione o la moltiplicazione), che soddisfa gli assiomi di associatività, di esistenza dell'elemento neutro e di esistenza dell'inverso di ogni elemento.

Indice

  1. 180 relazioni: Addizione, Algebra, Algebra lineare, Anello (algebra), Antitraslazione, Aritmetica modulare, Arthur Cayley, Assioma, Assioma (matematica), Associatività, Augustin-Louis Cauchy, Élie Joseph Cartan, Évariste Galois, Camille Jordan, Campo (matematica), Campo di numeri, Cardinalità, Carl Friedrich Gauss, Circonferenza unitaria, Classe laterale, Classificazione dei gruppi semplici finiti, Claude Chevalley, Commutatività, Commutatore (matematica), Composizione di funzioni, Corrispondenza biunivoca, Costruzioni con riga e compasso, Disquisitiones Arithmeticae, Divisione euclidea, Elemento (insiemistica), Elemento inverso, Elemento neutro, Equazione algebrica, Equazione di quarto grado, Equazione di secondo grado, Equazione di terzo grado, Ernst Eduard Kummer, Felix Klein, Ferdinand Georg Frobenius, Frazione (matematica), Funzione (matematica), Funzione identità, Funzione iniettiva, Funzione parziale, Funzione suriettiva, Geometria, Geometria euclidea, Geometria iperbolica, Geometria non euclidea, Geometria proiettiva, ... Espandi índice (130 più) »

  2. Simmetria
  3. Strutture algebriche
  4. Teoria dei gruppi

Addizione

Laddizione (denotata normalmente dal simbolo del più, "+") è una delle quattro operazioni fondamentali dell'aritmetica, insieme alla sottrazione, alla moltiplicazione e alla divisione.

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Algebra

Lalgebra (dall'arabo الجبر, al-ǧabr, 'completamento') è una branca della matematica che tratta lo studio di strutture algebriche, relazioni e quantità.

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Algebra lineare

Lalgebra lineare è la branca della matematica che si occupa dello studio dei vettori, spazi vettoriali (o spazi lineari), trasformazioni lineari e sistemi di equazioni lineari.

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Anello (algebra)

In matematica, in particolare in algebra astratta, un anello è una struttura algebrica composta da un insieme su cui sono definite due operazioni binarie, chiamate somma e prodotto, indicate rispettivamente con + e cdot, che godono di proprietà simili a quelle verificate dai numeri interi.

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Antitraslazione

Le antitraslazioni (o, equivalentemente, glissosimmetrie, glissoriflessioni, simmetrie con scorrimento) sono quelle isometrie del piano euclideo che si ottengono da una simmetria assiale S composta con una traslazione T lungo una retta parallela all'asse di S. Tali isometrie sono sempre invertenti, in quanto composizione di una invertente (la simmetria assiale) ed una non invertente (la traslazione).

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Aritmetica modulare

Laritmetica modulare (a volte detta aritmetica dell'orologio poiché su questo principio si basa il calcolo delle ore a cicli di 12 o 24) rappresenta un importante ramo della matematica.

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Arthur Cayley

Cayley fu tra i matematici più prolifici del XIX secolo. Già da ragazzo si divertiva a risolvere complessi problemi matematici.

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Assioma

Un assioma, in epistemologia, è una proposizione o un principio che è assunto come vero perché ritenuto evidente o perché fornisce il punto di partenza di un quadro teorico di riferimento.

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Assioma (matematica)

In matematica si chiamano postulati o assiomi tutti e soli gli enunciati che, pur non essendo stati dimostrati, sono considerati veri. Generalmente forniscono il punto di partenza per delineare un quadro teorico come può essere quello della teoria degli insiemi, della geometria, dell'aritmetica, della teoria dei gruppi o del calcolo delle probabilità.

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Associatività

In matematica, lassociatività (o proprietà associativa) è una proprietà che può avere un'operazione binaria. Significa che l'ordine di valutazione è irrilevante se l'operazione appare più di una volta in un'espressione.

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Augustin-Louis Cauchy

Ha avviato il progetto della formulazione e dimostrazione rigorosa dei teoremi dell'analisi infinitesimale basato sull'utilizzo delle nozioni di limite e di continuità.

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Élie Joseph Cartan

Portò importanti contributi anche alla fisica matematica, alla geometria differenziale e alla teoria dei gruppi.

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Évariste Galois

Ancora adolescente, fu in grado di determinare una condizione necessaria e sufficiente affinché un polinomio sia risolubile per radicali, risolvendo quindi un problema vecchio di oltre 350 anni.

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Camille Jordan

Il padre, Esprit-Alexandre Jordan (1800-1888), educato allÉcole polytechnique, era un ingegnere; la madre, Joséphine Puvis de Chavannes, era sorella del pittore Pierre Puvis de Chavannes.

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Campo (matematica)

In matematica, un campo è una struttura algebrica composta da un insieme non vuoto e da due operazioni binarie interne (chiamate somma e prodotto e indicate di solito rispettivamente con + e *) che godono di proprietà assimilabili a quelle verificate da somma e prodotto sui numeri razionali o reali o anche complessi.

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Campo di numeri

In matematica un campo di numeri (o campo numerico) K è un'estensione finita del campo mathbb dei numeri razionali. Questo significa che K è un campo contenente mathbb ed ha dimensione finita come spazio vettoriale su mathbb.

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Cardinalità

In teoria degli insiemi per cardinalità (o numerosità o potenza) di un insieme finito si intende il numero dei suoi elementi. La cardinalità di un insieme A è indicata con i simboli leftvert A rightvert, #(A) oppure operatorname(A).

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Carl Friedrich Gauss

Talvolta definito «il Principe dei matematici» (Princeps mathematicorum) come Eulero o «il più grande matematico della modernità» (in opposizione ad Archimede, considerato dallo stesso Gauss come il maggiore fra i matematici dell'antichità), è annoverato fra i più importanti matematici della storia avendo contribuito in modo decisivo all'evoluzione delle scienze matematiche, fisiche e naturali.

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Circonferenza unitaria

Una circonferenza unitaria, in matematica, è una circonferenza di raggio unitario, cioè una circonferenza il cui raggio è 1. Frequentemente, specialmente in trigonometria, la circonferenza unitaria è centrata nell'origine (0,0) in un sistema di coordinate cartesiane nel piano euclideo.

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Classe laterale

La classe laterale è un concetto matematico, utile nella teoria dei gruppi. Tramite questa nozione si definiscono i concetti di sottogruppo normale e di gruppo quoziente.

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Classificazione dei gruppi semplici finiti

La classificazione dei gruppi finiti semplici, detta anche il teorema enorme, è un risultato che può essere considerato uno dei più significativi teoremi del Novecento, se non addirittura, come affermato dal matematico Daniel Gorenstein, uno dei più importanti risultati della matematica.

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Claude Chevalley

Il padre di Chevalley era un diplomatico francese e i suoi genitori furono gli autori dellOxford Concise French Dictionary. Si laureò alla École Normale Supérieure nel 1929, dove studiò sotto la guida di Émile Picard.

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Commutatività

In matematica, un'operazione binaria * definita su un insieme S è commutativa se e solo se Se questa proprietà non è valida per ogni coppia di elementi, l'operazione * è quindi detta non commutativa.

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Commutatore (matematica)

Per commutatore, in matematica, si intende una composizione di due elementi di una struttura algebrica, riferita a un'operazione binaria che fornisce un terzo elemento diverso dall'elemento neutro quando i due elementi dati non soddisfano la proprietà commutativa.

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Composizione di funzioni

In matematica, la composizione di funzioni è l'applicazione di una funzione al risultato di un'altra funzione. Più precisamente, una funzione f tra due insiemi X e Y associa ogni elemento di X a uno di Y: in presenza di un'altra funzione g che associa ogni elemento di Y a un elemento di un altro insieme Z, si definisce la composizione di f e g come la funzione che associa ogni elemento di X a uno di Z usando prima f e poi g.

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Corrispondenza biunivoca

In matematica una corrispondenza biunivoca tra due insiemi X e Y è una relazione binaria tra X e Y, tale che ad ogni elemento di X corrisponda uno ed un solo elemento di Y, e viceversa ad ogni elemento di Y corrisponda uno ed un solo elemento di X. In particolare, la corrispondenza biunivoca è una relazione di equivalenza.

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Costruzioni con riga e compasso

Eseguire una costruzione con riga e compasso significa ottenere graficamente una determinata figura geometrica partendo da segmenti ed angoli tracciati servendosi esclusivamente di una riga e di un compasso idealizzati, ossia non graduati, senza quindi la possibilità di far riferimento alle tacche della riga per prendere misure o di ripetere una data apertura che il compasso aveva avuto in precedenza.

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Disquisitiones Arithmeticae

Disquisitiones Arithmeticae è un testo di teoria dei numeri scritto dal matematico tedesco Carl Friederich Gauss. Il libro fu scritto nel 1798 in latino, quando Gauss aveva appena ventun anni, ma fu pubblicato solamente tre anni dopo, nel 1801.

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Divisione euclidea

La divisione euclidea o divisione con resto è intuitivamente quell'operazione che si fa quando si suddivide un numero a di oggetti in gruppi di b oggetti ciascuno e quindi si conta quanti gruppi sono stati formati e quanti oggetti sono rimasti.

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Elemento (insiemistica)

In matematica, un elemento è un oggetto contenuto in un insieme (o più in generale in una classe). Il fatto che x è un elemento dell'insieme A si indica con la scrittura "x ∈ A".

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Elemento inverso

In matematica, e in particolare in algebra astratta, dato un gruppo (G,cdot) e un suo elemento g, si definisce elemento inverso (o semplicemente inverso) di g un elemento h appartenente a G tale che: dove 1_ indica l'elemento neutro del gruppo.

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Elemento neutro

In matematica, e in particolare algebra astratta, lelemento neutro è un elemento di un loop o di un monoide (e quindi anche di un gruppo o sue sovrastrutture come anelli e via via più specifiche) che "non modifica nulla" se posto sia a sinistra che a destra in un'operazione.

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Equazione algebrica

In matematica si chiamano equazioni algebriche o polinomiali quelle equazioni equivalenti (o riconducibili tramite opportune trasformazioni) ad un polinomio uguagliato a zero.

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Equazione di quarto grado

In matematica si definisce equazione di quarto grado o quartica quell'equazione algebrica in cui il grado più alto dell'incognita è il quarto.

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Equazione di secondo grado

In matematica, unequazione di secondo grado o quadratica ad un'incognita x è un'equazione algebrica in cui il grado massimo con cui compare l'incognita è 2, ed è sempre riconducibile alla forma: dove a,b,c sono numeri reali o complessi.

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Equazione di terzo grado

In matematica viene detta equazione di terzo grado o cubica un'equazione che si presenta o può essere trasformata in forma polinomiale in cui il grado massimo dell'incognita è il terzo.

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Ernst Eduard Kummer

Studiò alla Università di Halle. Fu apprezzato da Carl Jacobi e Peter Dirichlet e fu in amicizia con Karl Weierstrass. Sposò Ottilie, cugina del compositore Felix Mendelssohn.

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Felix Klein

È conosciuto soprattutto per i suoi contributi alla geometria non euclidea, ai collegamenti tra geometria e teoria dei gruppi e per alcuni risultati sulla teoria delle funzioni.

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Ferdinand Georg Frobenius

Frobenius nacque a Charlottenburg, una località allora alla periferia di Berlino, e compì la sua educazione all'Università di Berlino.

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Frazione (matematica)

Una frazione (il fatto di spezzare, infrangere), secondo la definizione classica propria dell'aritmetica, è un modo per esprimere una quantità basandosi sulla divisione di un oggetto in un certo numero di parti della stessa dimensione.

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Funzione (matematica)

In matematica, una funzione è una relazione tra due insiemi, chiamati dominio e codominio della funzione, che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.

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Funzione identità

In matematica si chiama funzione identità su un insieme X la funzione che associa ad ogni elemento l'elemento stesso. La funzione identità su X si indica con mathrm_X.

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Funzione iniettiva

In matematica, una funzione iniettiva (detta anche funzione ingettiva oppure iniezione) è una funzione che associa, a elementi distinti del dominio, elementi distinti del codominio.

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Funzione parziale

Una funzione parziale In matematica, si dice funzione parziale fcolon A rightarrow B un sottoinsieme di A times B, cioè una relazione binaria tra A e B, tale che.

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Funzione suriettiva

In matematica, una funzione si dice suriettiva (o surgettiva, o una suriezione) quando ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.

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Geometria

La geometria (e questo, composto dal prefisso geo- che rimanda alla parola greca γή.

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Geometria euclidea

La geometria euclidea è un sistema matematico attribuito allo scienziato alessandrino Euclide, che la descrisse nei suoi Elementi. La sua geometria consiste nell'assunzione di cinque semplici e intuitivi concetti, detti assiomi o postulati, di altre proposizioni (teoremi) che non abbiano alcuna contraddizione con essi.

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Geometria iperbolica

La geometria iperbolica, anche chiamata geometria di Bolyai-Lobačevskij, è una geometria non euclidea ottenuta rimpiazzando il postulato delle parallele con il cosiddetto postulato iperbolico.

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Geometria non euclidea

Una geometria non euclidea è una geometria costruita negando o non accettando alcuni postulati euclidei. Viene detta anche metageometria.

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Geometria proiettiva

La geometria proiettiva è la parte della geometria che modellizza i concetti intuitivi di prospettiva e orizzonte. Definisce e studia gli enti geometrici usuali (punti, rette,...) senza utilizzare misure o confronto di lunghezze.

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George Mackey

Figlio di William Sturges Mackey e di Dorothy Frances Allison, la famiglia si trasferì da St. Louis in Florida e nel 1926 si stabilì a Houston.

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Glossario di teoria dei gruppi

Un gruppo è un insieme munito di un'operazione associativa dotata di elemento neutro e tale che ogni elemento possiede un inverso. Gruppi molto importanti sono costituiti da trasformazioni; altri gruppi che si incontrano spesso sono costituiti da insiemi numerici muniti della moltiplicazione.

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Gruppi di omotopia

In matematica, i gruppi di omotopia sono un oggetto algebrico che intuitivamente misura la quantità di "buchi n-dimensionali" di uno spazio.

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Gruppo abeliano

In matematica e in particolare in algebra astratta, un gruppo abeliano, o gruppo commutativo, è un gruppo la cui operazione binaria interna gode della proprietà commutativa, ossia il gruppo (G,*) è abeliano se Il nome deriva dal matematico norvegese Niels Henrik Abel.

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Gruppo algebrico

In matematica e in particolare in geometria algebrica, un gruppo algebrico (o varietà gruppo) è un gruppo che è anche una varietà algebrica e le operazioni di moltiplicazione e inversione sono mappe regolari sulla varietà.

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Gruppo ciclico

In matematica, più precisamente nella teoria dei gruppi, un gruppo ciclico è un gruppo che può essere generato da un unico elemento. Un tale gruppo è isomorfo al gruppo mathbb/nmathbb delle classi di resto modulo n, oppure al gruppo mathbb dei numeri interi.

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Gruppo dei quaternioni

In matematica, e specialmente in teoria dei gruppi, il gruppo dei quaternioni (spesso indicato con Q_8) è il gruppo formato dagli otto elementi caratteristici del corpo dei quaternioni.

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Gruppo di Galois

In matematica, e più precisamente in algebra, un gruppo di Galois è un gruppo associato a un'estensione di campi. In particolare, vengono principalmente studiati i gruppi associati ad estensioni che sono di Galois.

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Gruppo di Klein

In matematica, il gruppo di Klein (o anche 4-gruppo di Klein, 4-gruppo, gruppo quadrinomio, Vierergruppe o gruppo trirettangolo, spesso indicato dalla lettera V (cfr. il ted. "Vier", quattro) è il gruppo Z2 × Z2, prodotto diretto di due copie del gruppo ciclico di ordine 2 (o ogni variante isomorfo).

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Gruppo di Lie

In matematica un gruppo di Lie è un gruppo munito di una struttura di varietà differenziabile compatibile con le operazioni di gruppo. Il termine groupes de Lie venne utilizzato per la prima volta in Francia nel 1893 nella tesi di dottorato di Arthur Tresse in onore del matematico norvegese Sophus Lie, che di Tresse fu uno dei due relatori.

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Gruppo di tipo Lie

In matematica, un gruppo di tipo Lie è solitamente un gruppo finito strettamente correlato al gruppo dei punti razionali di un gruppo algebrico lineare riduttivo con valori in un campo finito.

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Gruppo diedrale

In matematica, il gruppo diedrale di ordine 2n è il gruppo formato dalle isometrie del piano che lasciano immutati i poligoni regolari a n lati.

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Gruppo finito

In matematica un gruppo finito è un gruppo costituito da un numero finito di elementi. Ogni gruppo finito di ordine primo è un gruppo ciclico.

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Gruppo fondamentale

In topologia, il gruppo fondamentale permette di analizzare la forma di un oggetto e tradurlo in forma algebrica. L'oggetto da analizzare deve essere uno spazio topologico (ad esempio un sottoinsieme del piano, dello spazio, o di un qualsiasi spazio euclideo).

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Gruppo generale lineare

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, il gruppo lineare generale è il gruppo di tutte le matrici invertibili n × n a valori in un campo K, dove n è un numero intero positivo.

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Gruppo libero

Grafo di Cayley del gruppo libero su due generatori, ''a'' e ''b''. In teoria dei gruppi, un gruppo G si dice libero se esiste un sottoinsieme S di G tale che è possibile scrivere ogni elemento di G con una parola ridotta non banale, ossia come applicazione ripetuta dell'operazione binaria associata a G a un numero finito di elementi di S e dei loro inversi in modo univoco (tralasciando le variazioni banali come st−1.

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Gruppo mostro

In matematica, e in particolare in teoria dei gruppi, il gruppo mostro M (o IM o gruppo di Fischer-Griess) è un gruppo finito di ordine Si tratta di un gruppo semplice che quindi non ha nessun sottogruppo normale eccetto quelli composti dal solo elemento identità e dal gruppo M stesso.

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Gruppo ordinato

In algebra, un gruppo ordinato è un gruppo G dotato di una relazione d'ordine parziale che preserva l'operazione di gruppo: se leq è una relazione d'ordine ordine su G, allora per ogni a,b,c in G deve valere che Si dice anche che leq è invariante per traslazioni (la motivazione del nome è più evidente per gruppi additivi).

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Gruppo ortogonale

In matematica, il gruppo ortogonale di grado n su un campo K è il gruppo delle matrici ortogonali ntimes n a valori in K. Si indica con mathrm(n,K) o, se il campo è chiaro dal contesto, semplicemente con mathrm(n).

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Gruppo quoziente

In matematica, un gruppo quoziente è una particolare struttura algebrica che è possibile costruire a partire da un dato gruppo e un suo sottogruppo normale.

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Gruppo risolubile

In algebra, un gruppo risolubile è un gruppo G che possiede una serie normale abeliana, ovvero tale che esiste una catena di sottogruppi (dove e è l'elemento neutro del gruppo) in cui ogni H_i è normale in H_ e il quoziente H_/H_i è abeliano.

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Gruppo semplice

In matematica, un gruppo semplice è un gruppo non banale i cui unici sottogruppi normali sono il sottogruppo banale e il gruppo stesso. In altre parole, i gruppi semplici sono gruppi che contengono il minimo numero di sottogruppi normali.

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Gruppo simmetrico

In matematica, il gruppo simmetrico di un insieme è il gruppo formato dall'insieme delle permutazioni dei suoi elementi, cioè dall'insieme delle funzioni biiettive di tale insieme in se stesso, munito dell'operazione binaria di composizione di funzioni.

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Gruppo sporadico

In matematica, e in particolare in teoria dei gruppi, con gruppo sporadico si intende un gruppo semplice finito che è uno dei 26 casi eccezionali del teorema di classificazione dei gruppi semplici finiti.

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Gruppo topologico

In algebra astratta, un gruppo topologico è un gruppo dotato di una struttura topologica, rispetto alla quale le operazioni di gruppo sono funzioni continue.

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Gruppoide (teoria delle categorie)

In matematica, un gruppoide è una struttura algebrica usata per generalizzare gruppi e azioni di gruppo. Il concetto di gruppoide è stato introdotto da Heinrich Brandt nel 1927; spesso quindi tale entità viene chiamata gruppoide di Brandt.

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Hermann Weyl

Tra le personalità più influenti del XX secolo, i suoi studi e le sue ricerche hanno avuto una grande rilevanza in molti settori chiave della matematica (a partire dalla teoria dei numeri), della fisica teorica e della fisica matematica.

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Immagine (matematica)

In matematica, limmagine di un sottoinsieme del dominio di una funzione è l'insieme degli elementi ottenuti applicando la funzione a tale sottoinsieme.

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Inclusione (matematica)

In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, l'inclusione, indicata con subseteq, è una relazione binaria tra insiemi definita nel seguente modo: "l'insieme B è contenuto o incluso nell'insieme A se, per ogni elemento x, se x appartiene a B allora x appartiene ad A".

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Insieme

In matematica, una collezione di elementi rappresenta un insieme se esiste un criterio oggettivo che permette di decidere univocamente se un qualunque elemento fa parte o no del raggruppamento.

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Insieme di generatori

In algebra lineare, un insieme di generatori (o sistema di generatori) è un sottoinsieme di un insieme dotato di struttura algebrica tale che tutti gli elementi dell'insieme possono essere ottenuti dagli elementi del sottoinsieme, tramite combinazioni di operazioni definite sull'insieme.

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Insieme infinito

Un insieme infinito è intuitivamente un insieme per il quale non sia possibile elencare i suoi elementi. Definizioni matematicamente rigorose si possono dare nella teoria degli insiemi.

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Insieme vuoto

Nella teoria degli insiemi si indica con insieme vuoto quel particolare insieme che non contiene alcun elemento. Nella teoria assiomatica degli insiemi l'assioma dell'insieme vuoto ne postula l'esistenza.

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Intersezione (insiemistica)

In matematica, e in particolare in teoria degli insiemi, lintersezione (simbolo cap) di due insiemi è l'insieme degli elementi che appartengono a entrambi gli insiemi contemporaneamente.

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Isomorfismo

In matematica, in particolare in algebra astratta, un isomorfismo (dal greco ἴσος, isos, che significa uguale, e μορφή, morphé, che significa forma) è un'applicazione biunivoca fra oggetti matematici tale che l'applicazione e la sua inversa siano omomorfismi.

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Isomorfismo tra gruppi

Un isomorfismo tra gruppi, come ogni altro isomorfismo tra strutture algebriche monosostegno, è una corrispondenza biunivoca tra gli insiemi sostegno di due gruppi che conserva le uguaglianze riguardanti le operazioni caratterizzanti i due gruppi.

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Issai Schur

È conosciuto per i suoi lavori in rappresentazione dei gruppi, per quelli in combinatoria, teoria dei numeri e fisica teorica.

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Istituto dell'Enciclopedia Italiana

LIstituto della Enciclopedia Italiana (ufficialmente Istituto della Enciclopedia Italiana fondata da Giovanni Treccani S.p.A.) è una casa editrice italiana, anche conosciuta come Istituto Treccani, fondata nel 1925 a Roma da Giovanni Treccani e Giovanni Gentile.

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Jacques Tits

Conosciuto per i suoi lavori sulla teoria dei gruppi, fu vincitore del Premio Wolf per la matematica nel 1993, della medaglia Cantor nel 1996, e del premio Abel nel 2008.

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John Griggs Thompson

Laureato presso l'Università Yale nel 1955, ottenne quindi il dottorato presso l'Università di Chicago nel 1959 sotto la supervisione di Saunders Mac Lane.

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Joseph-Louis Lagrange

Viene unanimemente considerato tra i maggiori e più influenti matematici europei del XVIII secolo; notevoli anche i suoi innovativi contributi alla fisica matematica.

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Leopold Kronecker

È noto per la sua convinzione che l'analisi potesse essere interamente fondata sui numeri interi, convinzione rappresentata dal suo noto aforisma: "Dio fece i numeri interi; tutto il resto è opera dell'uomo".

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Loop (algebra)

Un loop è una struttura algebrica non associativa usata in matematica.

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Magma (matematica)

Un magma (o gruppoide) è un insieme M in cui è definita una singola operazione binaria * che a ogni coppia di elementi a e b di M associa l'elemento a*b.

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Matematica

La matematica (dal greco: μάθημα (máthema), traducibile con i termini "scienza", "conoscenza" o "apprendimento"; μαθηματικός (mathematikós) significa "incline ad apprendere") è la disciplina che studia le quantità, i numeri, lo spazio,.

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Mathematical Reviews

La Mathematical Reviews è una pubblicazione a stampa e una base dati in linea pubblicata dalla American Mathematical Society (AMS) che contiene brevi sommari (e talvolta valutazioni) di buona parte degli articoli che trattano di matematica, statistica e informatica teorica.

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Matrice

In matematica, in particolare in algebra lineare, una matrice è una tabella ordinata di elementi. Ad esempio: 1 & 0 & 5 1 & -3 & 0 end.

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Matrice invertibile

In matematica, in particolare in algebra lineare, una matrice quadrata è detta invertibile, o regolare, o non singolare se esiste un'altra matrice tale che il prodotto matriciale tra le due restituisce la matrice identità.

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Matrice ortogonale

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una matrice ortogonale è una matrice invertibile tale che la sua trasposta coincide con la sua inversa.

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Moltiplicazione

La moltiplicazione è una delle quattro operazioni fondamentali dell'aritmetica. È un modo rapido per rappresentare la somma di numeri uguali.

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Moltiplicazione di matrici

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la moltiplicazione di matrici è il prodotto righe per colonne tra due matrici, possibile sotto certe condizioni, che dà luogo ad un'altra matrice.

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Monoide

Nell'algebra astratta, una branca della matematica, un monoide è una struttura algebrica dotata dell'operazione binaria associativa e di un elemento neutro.

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Nucleo (matematica)

In matematica, in particolare nell'algebra, il nucleo di un omomorfismo è l'insieme dei punti che vengono annullati dalla funzione. Viene definito in modi diversi a seconda del contesto in cui è utilizzato; in generale è legato al concetto di funzione iniettiva.

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Numero complesso

Un numero complesso è definito come un numero della forma x+iy, con x e y numeri reali e i una soluzione dell'equazione x^2.

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Numero intero

Il simbolo dell'insieme dei numeri interi I numeri interi (o numeri interi relativi o, semplicemente, numeri relativi) corrispondono all'insieme ottenuto unendo i numeri naturali (0, 1, 2,...) e i numeri interi negativi (−1, −2, −3,...), cioè quelli ottenuti ponendo un segno “−” davanti ai naturali.

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Numero naturale

In matematica i numeri naturali sono quei numeri usati per contare e ordinare. Nel linguaggio comune i "numeri cardinali" sono quelli usati per contare e i "numeri ordinali" sono quelli usati per ordinare.

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Numero primo

In matematica, un numero primo (in breve anche primo) è un numero intero positivo che abbia esattamente due divisori distinti. In modo equivalente si può definire come un numero naturale maggiore di 1 che sia divisibile solamente per 1 e per sé stesso; al contrario, un numero maggiore di 1 che abbia più di due divisori è detto composto.

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Numero razionale

In matematica, un numero razionale è un numero ottenibile come rapporto tra due numeri interi primi fra loro, il secondo dei quali diverso da 0.

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Numero reale

In matematica, i numeri reali possono essere descritti in maniera non formale come numeri ai quali è possibile attribuire uno sviluppo decimale finito o infinito, come pi.

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Omeomorfismo

In matematica, e più precisamente in topologia, un omeomorfismo (dal greco homoios.

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Omologia (topologia)

Lomologia, assieme all'omotopia, è un concetto fondamentale della topologia algebrica. È una procedura con cui viene assegnata a un certo oggetto matematico (come uno spazio topologico o un gruppo), una successione di gruppi abeliani, che forniscano in qualche maniera informazioni sull'oggetto in considerazione.

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Omomorfismo di gruppi

In matematica, e più precisamente in algebra, un omomorfismo di gruppi è un tipo di funzione fra gruppi che ne preserva le operazioni. Questo concetto identifica quindi quali sono le funzioni "interessanti" nella teoria dei gruppi.

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Omotopia

Illustrazione di una omotopia H fra due curve, gamma_0 e gamma_1 In topologia, due funzioni continue da uno spazio topologico X ad un altro Y sono dette omotope (dal greco homos.

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Operazione binaria

In matematica, unoperazione binaria interna è una funzione che richiede due argomenti dello stesso insieme X (si dice cioè che ha arietà 2) e restituisce un elemento di X. Formalmente, cioè, è una funzione * dal prodotto cartesiano Xtimes X in X: Per indicare l'immagine di una coppia di punti (x,y) si usa spesso la notazione infissa x*y.

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Operazione interna

In matematica, un'operazione interna ad n argomenti (o n-aria) su un insieme X è una funzione che ad ogni n-upla di X^n associa un elemento dello stesso X.

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Orientazione

In geometria un'orientazione di uno spazio è una scelta con cui si identificano come "positive" alcune configurazioni di vettori e "negative" altre.

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Paolo Ruffini (matematico)

Nacque a Valentano da Basilio Ruffini, un medico che lì si era trasferito da Reggio Emilia, e da Maria Francesca Ippoliti da Poggio Mirteto.

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Partizione (teoria degli insiemi)

In matematica una partizione di un insieme X è una divisione di X in sottoinsiemi, detti parti, classi o blocchi della partizione, che "coprono" X senza sovrapporsi.

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Permutazione

Una permutazione è un modo di ordinare in successione oggetti distinti, come nell'anagramma di una parola. In termini matematici una permutazione di un insieme X si definisce come una funzione biiettiva pcolon X rightarrow X.

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Piano complesso

In analisi complessa, il piano complesso (chiamato anche piano di Argand-Gauss) è una rappresentazione bidimensionale dell'insieme dei numeri complessi.

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Piccolo teorema di Fermat

Il piccolo teorema di Fermat dice che se p è un numero primo, allora per ogni intero a: Questo significa che se si prende un qualunque numero a, lo si moltiplica per se stesso p volte e si sottrae a, il risultato è divisibile per p (vedi aritmetica modulare).

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Piramide

Una piramide è una struttura monumentale la cui forma assomiglia a una piramide in senso geometrico. La piramide è stata utilizzata come tipologia in architettura soprattutto nei tempi antichi, in particolare in Egitto e da alcune civiltà precolombiane nell'America centrale.

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Poliedro

In matematica, e in particolare in geometria solida e in teoria dei grafi, un poliedro è un solido delimitato da un numero finito di facce piane poligonali.

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Poligono

In geometria un poligono (dal greco πολύς (polys, "molti") e γωνία (gōnia, "angolo") è una figura geometrica piana delimitata da una linea spezzata chiusa. I segmenti che compongono la spezzata chiusa si chiamano lati del poligono e i punti in comune a due lati consecutivi si dicono vertici del poligono.

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Poligono regolare

Un poligono regolare è un poligono convesso che è contemporaneamente equilatero (cioè ha tutti i lati congruenti fra loro) e equiangolo (cioè ha tutti gli angoli congruenti fra loro).

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Polinomio

In matematica un polinomio è un'espressione composta da costanti e variabili combinate usando soltanto addizione, sottrazione e moltiplicazione, gli esponenti delle variabili sono valori interi non negativi.

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Presentazione di un gruppo

In matematica, e in particolare in algebra astratta, una presentazione di un gruppo è una particolare definizione ottenuta mediante l'elenco dei generatori del gruppo, ovvero degli elementi il cui prodotto combinato dà origine a tutti gli elementi del gruppo, e delle relazioni tra i vari elementi.

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Prisma

Il prisma in geometria solida è un poliedro le cui basi sono due poligoni congruenti di n lati posti su piani paralleli e connessi da un ciclo di parallelogrammi (le "facce laterali").

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Prismatoide

In geometria solida, un prismatoide è un poliedro i cui vertici giacciono in due piani paralleli. I prismatoidi includono le piramidi e i prismi.

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Prodotto cartesiano

In matematica il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è l'insieme delle coppie ordinate (a,b) con a in A e b in B. Formalmente: Se A e B sono insiemi distinti, i prodotti Atimes B e Btimes A sono formalmente distinti, anche se sono in naturale corrispondenza biunivoca.

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Prodotto diretto

In algebra, il prodotto diretto esterno di due gruppi è un altro gruppo, costruito prendendo il prodotto cartesiano di questi e definendo l'operazione termine a termine.

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Prodotto libero

In algebra, il prodotto libero di due gruppi G e H è un nuovo gruppo, generalmente indicato con Tale gruppo è costruito prendendo tutte le parole aventi come lettere degli elementi in G e in H, considerate a meno di semplici operazioni.

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Prodotto semidiretto

In algebra, il prodotto semidiretto è un'estensione del concetto di prodotto diretto. Così come il prodotto diretto, un prodotto semidiretto di due gruppi (G_1, cdot), (G_2, star) è un gruppo che ha come elementi quelli del prodotto cartesiano G_1 times G_2, la cui legge di composizione dipende però anche da un omomorfismo particolare scelto fra gli omomorfismi psicolon (G_2, star) to mathrm((G_1, cdot)).

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Programma di Erlangen

Il programma di Erlangen è un metodo per classificare e caratterizzare le geometrie basandosi sulla geometria proiettiva e la teoria dei gruppi.

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Quadrato

Un quadrato, in geometria, è un quadrilatero regolare, cioè un poligono con quattro lati e quattro angoli congruenti.

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Quadratura del cerchio

La quadratura del cerchio, assieme al problema della trisezione dell'angolo e a quello della duplicazione del cubo, è un problema classico della matematica greca (più precisamente della geometria), il cui scopo è costruire un quadrato che abbia la stessa area di un dato cerchio, con uso esclusivo di riga e compasso.

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Quasigruppo

In algebra astratta, un quasigruppo è una struttura algebrica "assomigliante" a un gruppo. Formalmente, un quasigruppo è un magma dove è sempre definita l'operazione di "divisione".

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Radice (matematica)

In matematica, una radice (o zero) di una funzione f è un elemento x nel dominio di f tale che f(x).

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Relazione di equivalenza

Una relazione di equivalenza è un concetto matematico che esprime in termini formali quello intuitivo di "oggetti che condividono una certa proprietà".

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Riflessione (geometria)

In matematica, e più precisamente in geometria, una riflessione è una trasformazione della retta, del piano o dello spazio che "specchia" tutti i punti rispetto a (rispettivamente) un punto, una retta, o un piano (detti rispettivamente centro, asse o piano di riflessione).

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Rotazione (matematica)

In matematica, e in particolare in geometria, una rotazione è una trasformazione del piano o dello spazio euclideo che sposta gli oggetti in modo rigido e che lascia fisso almeno un punto, nel caso del piano, o una retta, nel caso dello spazio.

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Semigruppo

In matematica, un semigruppo è un insieme munito di un'operazione binaria associativa. In altre parole per semigruppo si intende una struttura algebrica espressa da una coppia (A,*) con A insieme e * funzione definita su A times A a valori in A per la quale si ha: Equivalentemente si può definire come semigruppo ogni magma associativo.

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Simmetria

Il termine simmetria indica generalmente la presenza di alcune ripetizioni nella forma geometrica di un oggetto. L'oggetto può essere ad esempio una figura bidimensionale (un dipinto, un poligono, una tassellazione, ecc.) oppure una figura tridimensionale (una statua, un poliedro, ecc.). Molte simmetrie sono osservabili in natura.

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Simmetria (matematica)

In matematica, una simmetria è un'operazione che muove o trasforma un oggetto lasciandone inalterato l'aspetto. L'oggetto può essere, ad esempio, una figura geometrica o un'equazione.

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Solido platonico

In matematica, in particolare in geometria solida, il termine solido platonico, sinonimo di solido regolare e di poliedro convesso regolare, indica un poliedro convesso con le seguenti caratteristiche.

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Sophus Lie

La più importante scoperta di Lie fu che i gruppi di trasformazione continui (ora chiamati gruppi di Lie) possono essere compresi linearizzandoli, e studiandone i corrispettivi campi vettoriali generati (generatori infinitesimali).

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Sottogruppo

Un sottoinsieme H di un gruppo G è un sottogruppo se è un gruppo con l'operazione definita in G. Ogni gruppo G contiene almeno due sottogruppi: il gruppo G stesso, ed il sottogruppo banale formato unicamente dall'elemento neutro di G (naturalmente questi coincidono se G ha un solo elemento).

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Sottogruppo normale

In teoria dei gruppi, il sottogruppo normale (o invariante) è un sottogruppo in cui i laterali sinistro e destro di ogni elemento del gruppo coincidono.

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Spazio euclideo

In matematica, uno spazio euclideo è uno spazio affine in cui valgono gli assiomi e i postulati della geometria euclidea. Si tratta dello spazio di tutte le n-uple di numeri reali, che viene munito di un prodotto interno reale (prodotto scalare) per definire i concetti di distanza, lunghezza e angolo.

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Spazio topologico

In matematica, lo spazio topologico è l'oggetto base della topologia. Si tratta di un concetto molto generale di spazio, accompagnato da una nozione di "vicinanza" definita nel modo più debole possibile.

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Spazio vettoriale

In matematica, uno spazio vettoriale, anche detto spazio lineare, è una struttura algebrica composta da.

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Stringa (linguaggi formali)

Nella teoria dei linguaggi formali, una stringa è una sequenza composta da un certo numero di oggetti che ci si aspetta venga sottoposta ad elaborazioni come analisi, composizioni e trasformazioni in altre stringhe o strutture discrete come grafi o configurazioni numeriche, senza modificare gli oggetti componenti.

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Struttura algebrica

In matematica, una struttura algebrica è un insieme, chiamato insieme sostegno (della struttura), munito di una o più operazioni, ciascuna con la propria arietà (nullaria, unaria, binaria, ecc.) e caratterizzata dal poter avere proprietà quali commutatività, associatività e distributività.

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Tavola dei gruppi piccoli

Viene qui presentata una tavola dedicata ai gruppi finiti di ordine piccolo, cioè di cardinalità contenuta. Vengono elencati tutti i gruppi con al più 19 elementi.

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Teorema cinese del resto

In matematica, il termine teorema cinese del resto comprende diversi risultati in algebra astratta e teoria dei numeri.

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Teorema di Abel-Ruffini

Il teorema di Abel-Ruffini afferma che non esiste una relazione risolutiva generale esprimibile tramite radicali per le equazioni polinomiali di grado 5 o superiore.

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Teorema di Cayley

Il teorema di Cayley, dal nome del matematico britannico Arthur Cayley, è un teorema riguardante la teoria dei gruppi. Il teorema asserisce che ogni gruppo è isomorfo a un sottogruppo di un gruppo simmetrico.

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Teorema di isomorfismo

In matematica ci sono vari teoremi di isomorfismo, che asseriscono generalmente che alcuni insiemi dotati di opportune strutture algebriche sono isomorfe.

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Teorema di Lagrange (teoria dei gruppi)

In teoria dei gruppi, il teorema di Lagrange è un teorema basilare nello studio dei gruppi finiti. Afferma che l'ordine (cioè il numero di elementi) di un sottogruppo di un gruppo finito è un divisore dell'ordine del gruppo.

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Teoremi di Sylow

In algebra, i teoremi di Sylow sono dei risultati fondamentali della teoria dei gruppi finiti, che permettono la scomposizione di gruppi in sottogruppi il cui studio è più facile.

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Teoria dei gruppi

La teoria dei gruppi è la branca della matematica che si occupa dello studio dei gruppi. In astratto e in breve un gruppo è una struttura algebrica caratterizzata da un'operazione binaria associativa, dotata di elemento neutro e per la quale ogni elemento della struttura possiede elemento inverso; un semplice esempio di gruppo è dato dall'insieme dei numeri interi, con l'operazione dell'addizione.

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Teoria dei numeri

Tradizionalmente, la teoria dei numeri è quel ramo della matematica pura che si occupa delle proprietà dei numeri interi e contiene molti problemi aperti la cui formulazione può essere compresa anche da chi non è un matematico.

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Teoria delle categorie

La teoria delle categorie è una teoria matematica che studia in modo astratto le strutture matematiche e le relazioni tra esse. La nozione di categoria fu introdotta per la prima volta da Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane nel 1945 nell'ambito della topologia algebrica.

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Teoria delle rappresentazioni

La teoria delle rappresentazioni è una branca della matematica che studia le strutture algebriche astratte "rappresentando" i loro elementi come trasformazioni lineari di spazi vettoriali e studiando i moduli su queste strutture algebriche astratte.

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Teoria di Galois

In matematica, la teoria di Galois è una branca superiore dell'algebra astratta. Al livello più semplice usa i gruppi di permutazioni per descrivere come le varie radici di un dato polinomio sono collegate le une con le altre.

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Terzo settore

Il terzo settore (o settore non-profit) è l'insieme di quegli enti privati che perseguono, senza scopo di lucro, finalità civiche, solidaristiche e di utilità sociale e che promuovono e realizzano attività di interesse generale mediante forme di azione volontaria e gratuita o di mutualità o di produzione e scambio di beni e servizi.

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Tetraedro

In geometria, un tetraedro è un poliedro con quattro facce. Un tetraedro è necessariamente convesso, le sue facce sono triangolari, ha 4 vertici e 6 spigoli.

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Topologia

La topologia (dal greco τόπος, tópos, "luogo", e λόγος, lógos, "studio", col significato quindi di "studio dei luoghi") è una branca della matematica che studia le proprietà delle figure e, in generale, degli oggetti matematici, che non cambiano quando viene effettuata una deformazione senza "strappi", "sovrapposizioni" o "incollature".

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Topologia discreta

Uno spazio topologico X ha la topologia discreta quando tutti i sottoinsiemi di X sono aperti. Le seguenti sono altre definizioni equivalenti.

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Traslazione (geometria)

Nella geometria euclidea, una traslazione è una trasformazione affine dello spazio euclideo, che sposta tutti i punti di una distanza fissa nella stessa direzione.

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Trisezione dell'angolo

La trisezione di un angolo, vale a dire la costruzione di un angolo di ampiezza un terzo di un altro angolo qualsiasi dato, assieme al problema della duplicazione del cubo e a quello della quadratura del cerchio, è uno dei tre problemi classici della geometria greca che, come ha dimostrato algebricamente Pierre-Laurent Wantzel nel 1837, non si può risolvere con riga e compasso, ossia con costruzioni geometriche che impiegano solo rette e circonferenze.

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Ultimo teorema di Fermat

Lultimo teorema di Fermat, o, afferma che non esistono soluzioni intere positive dell'equazione: se n > 2.

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Università di Chicago

L'Università di Chicago (in inglese: University of Chicago, UChicago, U of C, o Chicago) è un'università privata, situata nel quartiere Hyde Park della Città di Chicago, negli Stati Uniti d'America.

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Varietà differenziabile

In matematica, e in particolare in geometria differenziale, la nozione di varietà differenziabile è una generalizzazione del concetto di curva e di superficie differenziabile in dimensione arbitraria.

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Walter Feit

Nato a Vienna da una famiglia ebraica, Walter Feit fu tra i circa bambini giunti come rifugiati in Inghilterra nel 1939 con il Kindertransport.

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Walther von Dyck

A seguito del riconoscimento successivo del titolo nobiliare, il cognome divenne von Dick. Von Dick elaborò la prima definizione di gruppo matematico in senso moderno, gettando le basi della teoria combinatoria dei gruppi, poiché fu il primo a descrivere un gruppo in termini di generatori e relazioni.

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William Burnside

Studiò all'Università di Cambridge, dove fu Second Wrangler nel 1875; tra i suoi professori vi furono James Clerk Maxwell e Arthur Cayley.

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XIX secolo

È il primo secolo dell'età contemporanea, un secolo di grandi trasformazioni sociali, politiche, culturali ed economiche a partire dall'ascesa e dalla caduta di Napoleone Bonaparte e la successiva Restaurazione, i moti rivoluzionari, la costituzione di molti stati moderni tra cui il regno d'Italia e l'impero germanico, la guerra di secessione americana, la seconda rivoluzione industriale fra positivismo, evoluzionismo e decadentismo, l'imperialismo e sul finire la grande depressione e la Belle Époque.

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XX secolo

Fu un secolo caratterizzato dalla Rivoluzione russa, dalle due guerre mondiali e dai regimi totalitari, intervallate dalla Grande depressione nella prima metà del secolo e dalla terza rivoluzione industriale fino all'era della rivoluzione informatica e della globalizzazione nella seconda metà.

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1960

Fu soprannominato "anno dell'Africa", per via dei numerosi paesi africani che ottennero l'indipendenza.

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Vedi anche

Simmetria

Strutture algebriche

Teoria dei gruppi

Conosciuto come Gruppo (algebra), Gruppo banale, Ordine di un gruppo.

, George Mackey, Glossario di teoria dei gruppi, Gruppi di omotopia, Gruppo abeliano, Gruppo algebrico, Gruppo ciclico, Gruppo dei quaternioni, Gruppo di Galois, Gruppo di Klein, Gruppo di Lie, Gruppo di tipo Lie, Gruppo diedrale, Gruppo finito, Gruppo fondamentale, Gruppo generale lineare, Gruppo libero, Gruppo mostro, Gruppo ordinato, Gruppo ortogonale, Gruppo quoziente, Gruppo risolubile, Gruppo semplice, Gruppo simmetrico, Gruppo sporadico, Gruppo topologico, Gruppoide (teoria delle categorie), Hermann Weyl, Immagine (matematica), Inclusione (matematica), Insieme, Insieme di generatori, Insieme infinito, Insieme vuoto, Intersezione (insiemistica), Isomorfismo, Isomorfismo tra gruppi, Issai Schur, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, Jacques Tits, John Griggs Thompson, Joseph-Louis Lagrange, Leopold Kronecker, Loop (algebra), Magma (matematica), Matematica, Mathematical Reviews, Matrice, Matrice invertibile, Matrice ortogonale, Moltiplicazione, Moltiplicazione di matrici, Monoide, Nucleo (matematica), Numero complesso, Numero intero, Numero naturale, Numero primo, Numero razionale, Numero reale, Omeomorfismo, Omologia (topologia), Omomorfismo di gruppi, Omotopia, Operazione binaria, Operazione interna, Orientazione, Paolo Ruffini (matematico), Partizione (teoria degli insiemi), Permutazione, Piano complesso, Piccolo teorema di Fermat, Piramide, Poliedro, Poligono, Poligono regolare, Polinomio, Presentazione di un gruppo, Prisma, Prismatoide, Prodotto cartesiano, Prodotto diretto, Prodotto libero, Prodotto semidiretto, Programma di Erlangen, Quadrato, Quadratura del cerchio, Quasigruppo, Radice (matematica), Relazione di equivalenza, Riflessione (geometria), Rotazione (matematica), Semigruppo, Simmetria, Simmetria (matematica), Solido platonico, Sophus Lie, Sottogruppo, Sottogruppo normale, Spazio euclideo, Spazio topologico, Spazio vettoriale, Stringa (linguaggi formali), Struttura algebrica, Tavola dei gruppi piccoli, Teorema cinese del resto, Teorema di Abel-Ruffini, Teorema di Cayley, Teorema di isomorfismo, Teorema di Lagrange (teoria dei gruppi), Teoremi di Sylow, Teoria dei gruppi, Teoria dei numeri, Teoria delle categorie, Teoria delle rappresentazioni, Teoria di Galois, Terzo settore, Tetraedro, Topologia, Topologia discreta, Traslazione (geometria), Trisezione dell'angolo, Ultimo teorema di Fermat, Università di Chicago, Varietà differenziabile, Walter Feit, Walther von Dyck, William Burnside, XIX secolo, XX secolo, 1960.